近日，地球物理权威期刊Geophysical Journal International在线发表了团队最新研究成果“Gravity inversion using L0 norm for sparse constraints”。该论文利用直接利用L0范数作为模型稀疏约束，并提出改进的迭代硬阈值算法计算L0稀疏约束优化问题，提高了反演分辨率并可以获得目标尺度的密度模型。第一作者为朱丹博士后、通讯作者为胡祥云教授。

        L0范数是应用数学界的重要研究对象，延伸出了压缩感知和稀疏编码等大批重要理论方法，被广泛应用于生活学习各个领域。同样，在地球物理反演中，稀疏反演是提高反演分辨率的重要途径。然而，L0范数一直被学界专家广泛回避，这源自于L0范数优化问题是NP难的，其无法被传统凸优化方法有效计算求解，也导致采用凸函数近似L0范数被学界普遍认为是稀疏反演的前提和必要条件。与此同时，采用凸函数近似L0范数无法有效控制反演模型体积，而密度模型体积是反演多解性的重要体现，必然需要被考虑到反演过程中。

        直面L0范数的优化计算困难，本文提出了L0稀疏约束的重力反演方法，实现了模型L0范数（即体积）的稳定且渐近线性收敛，从而达到控制反演模型尺度的目标。首先构建L0稀疏约束的反演优化模型，然后提出改进的迭代硬阈值算法以实现目标函数的稳定且渐近线性收敛，进一步采用倾斜构造和复杂理论模型测试本文方法的有效性，最终将本文方法用于南岭地区成矿岩体研究。理论实验显示，本文方法可以在保持数据拟合的情况下，实现模型L0范数的渐近线性下降，当反演模型的L0范数值达到期望值时，即可输出反演结果以获得目标尺度密度模型。

        南岭地区是我国重要的金属成矿带。我们采用本文方法对研究区侵入岩进行成像。在地表已知出露岩体、岩石样本密度分布和MT反演剖面的约束下，最终确定了反演模型尺度并获得相应尺度反演模型。反演模型可以被分为相对高密度岩体和相对低密度岩体，其中已知矿点和地表断裂均与低密度岩体对应关系良好。进一步推断低密度岩体为燕山期花岗岩，并构建了研究区花岗岩形成和演化过程。这对研究区进一步深部找矿方向具有重要指导意义。

图1 二维理论模型与L0稀疏反演结果，其中黑色实线为理论模型边界，（a-c）展示了不同尺度反演结果

图2 三维模型反演结果，（a-c）为带有密度约束的反演结果，（d-f）为不带密度约束的反演结果

图3 南岭地区花岗岩反演结果

图4 南岭地区燕山期花岗岩成矿过程

该研究获国家自然科学基金（42104137、42220104002）资助。

论文信息：Dan Zhu, Xiangyun Hu, Shuang Liu, Hongzhu Cai, Shan Xu, Linghui Meng, Henglei Zhang, Gravity inversion using L0 norm for sparse constraints, Geophysical Journal International, 2023, ggad456, https://doi.org/10.1093/gji/ggad456.

论文链接：https://academic.oup.com/gji/advance-article/doi/10.1093/gji/ggad456/7450478.